Teorema DeMorgan

 

Teorema DeMorgan's

Rahma Putriyana 

2303015068 

2D - Teknik Informatika 

Sistem Digital dan Gelombang

Seorang matematikawan bernama DeMorgan mengembangkan sepasang aturan penting mengenai komplemen kelompok dalam aljabar Boolean.

Yang saya maksud dengan komplemen grup adalah komplemen dari sekelompok istilah, yang diwakili oleh garis panjang pada lebih dari satu variabel.

Anda harus ingat dari bab tentang gerbang logika bahwa membalik semua masukan ke sebuah gerbang akan membalikkan fungsi penting gerbang tersebut dari AND ke OR, atau sebaliknya, dan juga membalikkan keluarannya.

Jadi, gerbang OR dengan semua masukannya terbalik (gerbang Negatif-OR) berperilaku sama dengan gerbang NAND, dan gerbang AND dengan semua masukannya terbalik (gerbang Negatif-AND) berperilaku sama dengan gerbang NOR.

Teorema DeMorgan menyatakan kesetaraan yang sama dalam bentuk “mundur”: bahwa membalikkan keluaran gerbang mana pun akan menghasilkan fungsi yang sama dengan jenis gerbang yang berlawanan (DAN vs. OR) dengan masukan terbalik:

Sebuah batang panjang yang memanjang hingga bagian AB bertindak sebagai simbol pengelompokan, dan dengan demikian sama sekali berbeda dari hasil kali A dan B yang dibalik secara independen.

Dengan kata lain, (AB)' tidak sama dengan A'B'. Karena simbol “prima” (') tidak dapat direntangkan pada dua variabel seperti halnya batang, kita terpaksa menggunakan tanda kurung untuk menerapkannya pada seluruh suku AB pada kalimat sebelumnya. 

Teori DeMorgan

Teorema DeMorgan pada dasarnya adalah dua set aturan atau hukum yang dikembangkan dari ekspresi Boolean untuk AND , OR, dan NOT menggunakan dua variabel masukan, A dan B. Kedua aturan atau teorema ini memungkinkan variabel masukan dinegasikan dan diubah dari satu bentuk fungsi Boolean ke bentuk sebaliknya.

Teorema pertama DeMorgan menyatakan bahwa dua (atau lebih) variabel yang NOR´digabungkan sama dengan dua variabel yang dibalik (Complement) dan AND´ed, sedangkan teorema kedua menyatakan bahwa dua (atau lebih) variabel yang digabungkan NAND´ed adalah sama sebagai dua suku terbalik (Pelengkap) dan OR´ed. Yaitu mengganti semua operator OR dengan operator AND, atau semua operator AND dengan operator OR.

Teorema Pertama DeMorgan

Teorema Pertama DeMorgan membuktikan bahwa ketika dua (atau lebih) variabel masukan di -AND dan dinegasikan, maka keduanya setara dengan OR dari komplemen masing-masing variabel. Jadi ekuivalen fungsi NAND akan menjadi fungsi OR negatif, yang membuktikan bahwa AB  =  A + B . Kami dapat menunjukkan operasi ini menggunakan tabel berikut.

Memverifikasi Teorema Pertama DeMorgan menggunakan Tabel Kebenaran

Masukan		Keluaran Tabel Kebenaran Untuk Setiap Suku
B	A	AB	AB	A	B	A  +  B
0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	0	1	1
1	0	0	1	1	0	1
1	1	1	0	0	0	0

Implementasi Hukum Pertama DeMorgan menggunakan Gerbang Logika

Susunan gerbang logika teratas dari: AB dapat diimplementasikan menggunakan gerbang NAND standar dengan input A dan B . Susunan gerbang logika yang lebih rendah pertama-tama membalikkan dua masukan yang menghasilkan A dan B. Ini kemudian menjadi masukan ke gerbang OR . Oleh karena itu keluaran dari gerbang OR menjadi: A + B

Kemudian kita dapat melihat di sini bahwa fungsi gerbang OR standar dengan inverter (gerbang NOT) pada setiap inputnya setara dengan fungsi gerbang NAND . Jadi gerbang NAND individual dapat direpresentasikan dengan cara ini karena kesetaraan gerbang NAND adalah OR negatif.

Teorema Kedua DeMorgan

Teorema Kedua DeMorgan membuktikan bahwa ketika dua (atau lebih) variabel masukan di OR dan dinegasikan, maka keduanya setara dengan AND dari komplemen masing-masing variabel. Jadi persamaan fungsi NOR adalah fungsi AND negatif yang membuktikan bahwa A+B  =  A . B , dan sekali lagi kita dapat menampilkan operasi ini menggunakan tabel kebenaran berikut.

Memverifikasi Teorema Kedua DeMorgan menggunakan Tabel Kebenaran

Masukan		Keluaran Tabel Kebenaran Untuk Setiap Suku
B	A	A+B	A+B	A	B	A  .  B
0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	0	1	0
1	0	1	0	1	0	0
1	1	1	0	0	0	0

 

Kita juga dapat menunjukkan bahwa A+B  =  A . B menggunakan contoh gerbang logika berikut.

Implementasi Hukum Kedua DeMorgan menggunakan Gerbang Logika

 

Susunan gerbang logika teratas: A+B dapat diimplementasikan menggunakan fungsi gerbang NOR standar dengan menggunakan input A dan B . Susunan gerbang logika yang lebih rendah pertama-tama membalikkan kedua masukan, sehingga menghasilkan A dan B. Sehingga kemudian menjadi masukan ke gerbang AND . Oleh karena itu keluaran dari gerbang AND menjadi: A . B

Kemudian kita dapat melihat bahwa fungsi gerbang AND standar dengan inverter (gerbang NOT) pada masing-masing masukannya menghasilkan kondisi keluaran yang setara dengan fungsi gerbang NOR standar, dan gerbang NOR individual dapat direpresentasikan dengan cara ini sebagai kesetaraan dari sebuah NOR. gerbang adalah negatif-DAN.

Tinjauan

• Teorema DeMorgan menggambarkan kesetaraan antara gerbang dengan masukan terbalik dan gerbang dengan keluaran terbalik. Sederhananya, gerbang NAND setara dengan gerbang Negatif-OR, dan gerbang NOR setara dengan gerbang Negatif-AND.
• Saat “memecahkan” bilah komplemen dalam ekspresi Boolean, operasi tepat di bawah jeda (penjumlahan atau perkalian) akan terbalik, dan potongan bilah yang putus tetap berada di atas suku masing-masing.
• Seringkali lebih mudah untuk mengatasi suatu masalah dengan memecahkan batang terpanjang (paling atas) sebelum memecahkan batang mana pun di bawahnya. Anda tidak boleh mencoba memecahkan dua jeruji dalam satu langkah!
• Bilah pelengkap berfungsi sebagai simbol pengelompokan. Oleh karena itu, ketika sebuah batang ditembus, suku-suku di bawahnya harus tetap dikelompokkan. Tanda kurung dapat ditempatkan di sekitar istilah-istilah yang dikelompokkan ini sebagai bantuan untuk menghindari perubahan prioritas.

 

https://onlinelearning.uhamka.ac.id/